מוסטונן יליד טאלין (אסטוניה). הוא סיים את בית הספר הגבוה למוזיקה בטאלין בשנת 1972 וחמש שנים לאחר מכן סיים את לימודיו בקונסרבטוריון הממלכתי של טאלין. הוא השתלם במוזיקה ובכינור באוסטריה ובהולנד ועשה לו שם של מומחה למוזיקה הן באסטוניה והן מחוצה לה. במהלך הקריירה שלו כמנצח הופיע מוסטונן עם תזמורות רבות, בהן הסינפונייטה הקאמרית של ריגה, התזמורת הסימפונית הממלכתית של רוסיה, תזמורת צ'ייקובסקי של רדיו מוסקבה והתזמורת הפילהרמונית של מוסקבה.

מוסטונן ניצח גם על התזמורת הפילהרמונית של סנקט פטרבורג ועבד בשיתוף פעולה עם תזמורות פילהרמוניות בליטא ולטביה. באסטוניה ניצח על התזמורת הסימפונית הלאומית של אסטוניה ועל התזמורת הקאמרית של טאלין. מחוץ לברית המועצות הופיע עם תזמורת רדיו פינלנד ועם מקהלות רבות בגרמניה, שוודיה והולנד.

מוסטונן עשה לו שם בניצוח על יצירות מאת באך, מוצרט, ברוקנר, מנואל קרדוסו, שוסטקוביץ', טלמן, שיץ, סופיה גוביידולינה ואחרים.
סקרנותו של אנדרס מוסטונן עוררה אותו לחיפוש מקורות השראה למוזיקה חדישה במוזיקה ליטורגית עתיקה, כך שבשנת 1972 הוא ייסד את הורטוס מוזיקוס (הגן המוזיקלי), שהוא ההרכב הוותיק ביותר למוזיקה עתיקה הפעיל באירופה, ומאז הקמתו הוא מכהן בו כמנהל מוזיקלי, כסולן וכמנצח.
לאורך השנים הופיע ההרכב בפסטיבלים החשובים בעולם, בהם פסטיבל אוטרכט, פסטיבל הבארוק מלמו, פסטיבל הבארוק לופטהנזה בלונדון, פסטיבל המוזיקה העתיקה בגלאזגו, פסטיבל לוקנהאוס באוסטריה, פסטיבל מוצרט בחמניץ ובקונצרטים בכל רחבי העולם, לרבות בפסטיבל יפו, פסטיבל ישראל, ופסטיבל מוסטונן-פסט טאלין-תל אביב בישראל, אירוע שנתי של מוזיקה קלאסית, שבו מופיעים מוזיקאים מאסטוניה בישראל, אותו אנדרס מוסטונן ייסד בשנת 2014.

ייסד גם את התזמורת האקדמית של הורטוס מוזיקוס, שהוציאה הקלטות רבות לחברות הקלטה שונות. מאז 2011 מרבה מוסטונן להופיע בישראל, בין השאר עם התזמורת הסימפונית הישראלית ראשון לציון, הקאמרטה הישראלית ירושלים והתזמורת הסימפונית ירושלים.